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CORRIGE de Mathématiques-Informatique
France Métropolitaine - Section S - Juin 200
6

Partie A :

1)a)

MATH




b) Faire le graphique




c) D'après le graphique, on peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers 2.




2)a) MATH

MATH

MATH

Donc p est croissante sur $[0~;~2,5]$, donc elle est en particulier croissante sur $[0~;~2]$..

De plus $p(0)=0,8$ $\ $et $\ \ p(2)=2$

Donc si MATH.=$[0,8~;~2]$.MATH.




b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, $0\leq y_{n}\leq 2.$

$n=0$ :

MATH.

OK, vérifié

MATH

Par définition de $y_{n}$ on a :

MATH

Par hypothèse de récurrence, MATH

Donc d'après la question précédente, MATH

Donc MATH

CQFD

Conclusion :

Pour tout entier naturel n, on a MATH




c) MATH

MATH

Or d'après la question précédente, $0\leq y_{n}\leq 2.$

D'où :

MATH

MATH

MATH

Donc MATH

La suite MATH est donc croissante.




d) La suite MATH est croissante et majorée par $\QTR{bf}{2(cf}$ questions précédentes) : elle est donc convergente.




Partie B :

$\QTR{bf}{1)}$ Soit x MATH

MATH

MATH

MATH

MATH.

Or MATH

Donc MATH pour tout x MATH

La fonction g vérifie donc bien la condition (1$)$.

De plus MATH.

Donc la fonction g vérifie bien la condition (2$)$.




2)a) MATH

MATHe$^{-4x})=1$

MATHe$^{-4x})=1$

Donc MATH.

La droite $\Delta $ d'équation MATH est donc asymptote horizontale à MATH au voisinage +$\infty .$




b) On a vu à la question 1) que :

MATH

Donc g est croissante sur MATH




3) Commençons par déterminer une équation de la tangente à g en x=0 :

MATH

Or MATH et $g(0)=0$

Donc $y=4x$.

$\alpha $ est l'abscisse du point d'intersection de $\Delta $ d'équation y=2 tangente à g en l'origine dont l'équation est $y=4x$

Donc 4$\alpha =2$

D'où MATH




4) Tracer la courbe