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CORRIGE de Mathématiques-Informatique
France Métropolitaine - Section S - Juin 200
6


Partie A :

1)a) MATHiMATHeMATH

MATH, donc MATHeMATH




b) Faire la figure




2) On a MATH

et MATH

Donc MATH

Donc MATH

Le quadrilatère OBAC est donc un parallélogramme

De plus C est le conjugué de B donc OB=OC

Le quadrilatère OBAC est donc un losange.




3) Soit M un poit d'affixe z

On cherche l'ensemble des points M tels que :

$|z|=|z-2|$

$\iff |z-0|=|z-2|$

MATH

$\iff $O$M=$A$M$

$\iff M$ est donc équidistant de O et de A

$\iff $donc $M$ appartient à la médiatrice du segment [OA]

Or OBAC est un losange donc ses diagonales (OA) et (BC) sont perpendiculaires entre elles.

Donc l'ensemble des points M cherché est la droite (BC).




Partie B :

1)a) Pour $z\neq 2$ , on a :

$z=\dfrac{-4}{z-2}$

$\iff z^{2}-2z+4=0$

MATH

$\iff (z-1)^{2}=-3$

$\iff (z-1)^{2}=3i$

MATH




b) D'après la question précédente, les solutions de l'équation précédente sont les affixes des points B et C qui sont donc les points invariants de l'application qui à $z$ $\rightarrow $ MATH.

Donc B$^{\prime }$ = B et C$^{\prime }$ = C.




c) $G$ centre de gravité du triangle ABC.

Donc MATHiMATH

De plus par définition de G' on a :

MATH

MATH

MATH

MATH

En multipliant par l'expression conjuguée du dénominateur, on obtient :

MATH

MATHi$\sqrt{\QTR{bf}{3}}$




2)a) En utilisant le pré requis de l'énoncé, on peut écrire :

MATH

MATH

Donc MATH




b) Pour tout $z\neq 2,$ on a :

MATH.




c) Soit MATH

MATHO a pour tout z :

$|z|=|z-2|$

Or d'après la question 2)b) MATH

Donc MATH

MATH

Donc M' appartient au cercle $\Gamma $ de centre A et de rayon 2.