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CORRIGE de Mathématiques-Informatique
France Métropolitaine - Section S - Juin 2006

Exerice 1 Exerice 2 obligatoire Exercice 3 Exercice 4

1) Variation de g :

La fonction $g$ est dérivable car elle est la somme de fonctions dérivables.

et MATH

$g^{\prime }(x)>0$ car $x>0$

Donc g est strictement croissante sur MATH

Limites de g :

MATH et MATH donc MATH

MATH et MATH donc MATH

Justification de l'existence de x$_{0}:$

La fonction $g$ est continue sur $[2,3~;~2,4]$ car dérivable

De plus elle est croissante sur $[2,3~;~2,4]$ et la calculatrice donne MATH et $g(2,4)\approx 0,04$.

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe xMATH

tel que g(x$_{0})=\QTR{bf}{0}$




2)a) On a par définition :

MATH

Or g(xMATH

D'où MATH

Donc MATH

fMATH.




b) Soit a un réel tel que $a>1\ast $

MATHdMATHd$t$

On fait une intégration par parties. On pose :

$u(t)=\ln t$ MATH

MATH $v(t)=\ln t$

MATHdMATH.

2MATHd$t=5(\ln a)^{2}$

MATHdMATH




3) $P_{0}$ est le point d'intersection entre la courbe représentative de g et l'axe des abcisses d'équation y=0.

Donc g(x$_{P_{0}})=0$

Donc d'après la question 1, x$_{P_{0}}=x_{0}$

De plus par sa définition, M$_{0}$ a pour coordonnées ( MATH d'après 2a).

$H_{0}$ a pour coordonnées :MATH

MATHdMATH (d'après la question 2)b) avec $a=x_{0})$

Or MATH MATH

D'où MATH

De plus MATH.représente l'aire du rectangle de largueur 1 et de longueur MATH

Donc MATH

Donc MATH

Les domaines $D_{1}$et $D_{2}$ ont donc même aire.

Cherchons maintenant un encadrement de cette aire.

D'après la question 1) on a :

$2,3<x_{0}<2,4$

MATH car la fonction x $\rightarrow x^{2}$ est croissante pour x $\geq 0$

MATH

MATH

MATH

Finalement, on a donc :

MATH à $\QTR{bf}{0,2}$ près.