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1) méthode plus rapide que celle proposée dans l'énoncé :

$z^{3}=8$

$\iff z^{3}=8$e$^{2\text{i}\pi }$

Si $z=re^{i\theta }$ avec r $\in \U{211d} $ et MATH

MATHe$^{2\text{i}\pi }$

Egalité du module :

rMATH

Egalité de l'argument :

3MATH avec $k\in \U{2124} $

MATH

Il y a donc trois solutions pour $k=1$, $k=2$ et $k=3$ car $\theta \in :$

$z_{1}=2$eMATHi$\sqrt{3}$

$z_{2}=2$eMATHi$\sqrt{3}$

MATH.

Donc les solutions de l'équation MATH sont :

MATH




2)a) Figure




b) B' est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle $-\dfrac{\pi }{2}$, donc :

MATH

MATH

MATH.




c) C' est l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi }{2}$, donc :

MATH

$c^{\prime }=$i$(-1-$i$\sqrt{3}-2)+2$

MATH.

Donc MATH et MATH sont bien conjuguées.




3)a) N est le milieu de [BB'] donc MATH

MATH

MATH.

Alignement de O, N, C :

On constate que MATH

Les vecteurs MATH et MATH sont donc colinéaires.

Donc les points O, N et C sont alignés.




b) Q est le milieu de [BB'], N est le milieu de [CC$^{\prime }$]

Or géométriquement,les segments [BB$^{\prime }$] et [CC$^{\prime }$] sont symétriques autour de (O$x$).

Donc leurs milieux respectifs Q et N le sont aussi.

donc $q=\overline{n}$

$q+1$ $\neq 0$, calculons $\dfrac{n+1}{q+1}:$

MATH

MATH

MATH

MATH

MATH

MATH

Etude du triangle MNQ :

M étant le milieu de $\left[ CB\right] $

on a MATH

Or $n+1=i(q+1)$

On remplace -1 par m dans l'équation précédente et on obtient :

$n-m=i(q-m)$

MATH

Donc N est l'image de Q dans la rotation de centre M et d'angle $\dfrac{\pi }{2}.$

Le triangle MNQ est donc un triangle rectangle isocèle.




c) P étant le milieu de MATH

on a MATH

Or MATH car C' est symétrique de B' par rapport à O.

Donc MATH

L'affixe du milieu de $\left[ MP\right] $ est MATH

L'affixe du milieu de $\left[ NQ\right] $ est MATH

$\left[ MP\right] $ et $\left[ NQ\right] $ ont donc le même milieu. MNPQ est donc un parallélogramme.

De plusMATHdonc MNPQ est un rectangle

Enfin on MQ=MN, MNPQ est donc un rectangle à deux côtés consécutifs égaux.

C'est un carré

Le quadrilatère MNPQ est donc un carré.