Partie A :
1)
a) Limite de f en +
:
Donc
Limite de f en 0 :
Donc
b)
.
car
La
fonction est donc strictement croissante sur
.
2)a)
La fonction
est continue et croissante sur
De
plus
et
Donc
est une bijection de
sur
,
Par
conséquent pour tout entier naturel
,
il existe un unique antécédent
tel
que
.
b) Figure :
c)
Donc
est l'unique solution de l'équation
Donc
.
d)
Or
la fonction f est strictement croissante sur
Donc
implique
La
suite
est
donc strictement croissante
3)a)
Une équation de
,
tangente à
au
point A d'abcisse 1 s'écrit :
b)
Le
signe de h'(x) dépend uniquement du signe de
car le dénominateur x est toujours positif.
quand
La
fonction est donc croissante sur
![$]0~;~1]$](graphics/HVRGOX83.png)
,
puis décroissante sur
.
Elle
présente donc un maximum pour
qui vaut
La
fonction h est donc négative sur
Position
relative de
par
rapport à
:
Or
pour tout x >0
Donc
La
courbe
est
donc en dessous de
pour
tout réel positif.
c) Voir figure précédente
4)
On a vu à la question 3)b) que, pour tout x
>0,
On
prend
Or
par définition
Donc
.
Limite
de
On
a
Donc par comparaison :
.
PartieB :
1)
Soit
un réel fixé
La
suite
étant non majorée, il existe un naturel
tel que
Par
croissance de la suite
.
Cette
propriété étant vraie pour tout réel
,
la suite
tend vers
.
Donc
un suite croissante non majorée tend vers
2)
Pour montrer que la suite
n'est pas majorée, on raisonne par l'absurde :
On
suppose que la suite
est majorée.
étant croissante et majorée, elle converge.Appelons l sa limite.
g
étant continue,
converge vers g(l)
Or
Contradiction
n'est donc pas majorée.
De
plus
est croissante
Donc
d'après la question précédente, la suite
tend
vers plus l'infini.
