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CORRIGE de Mathématiques
Inde - Section S - Juin 200
5

1$)$ MATH

MATH

MATH

MATH




2)a) Pour tout x MATH on a :

MATH

Calculons sa dérivée :

MATH

$f\prime (x)<0$

Donc f est décroissante sur MATH

Limite de f en +$\infty :$

MATH

Donc MATH




b) f est continue, strictement décroissante sur MATH

De plus $f(1)=2^{10}$

et MATH

Le réel 1,9 appartient à l'intervalle MATH

Donc ce réel a un et un seul antécédent MATH.

Donc il existe un unique réel $\alpha $ MATH tel que MATH




c) On cherche n$_{0}$ entier naturel tel que MATH

Avec la calculatrice en résolvant f($\alpha )=1,9$ on trouve que MATH

Donc MATH




d) La fonction f est décroissante sur MATH et f($\alpha )=1,9$

Or si MATH

Alors $f(n)\leq 1,9$ soit MATH




3)a) D'après la question précédente, on a pour $n\geq 16$ MATH

De plus d'après la question 1, on a MATH

soit MATH

soit MATH

soit $u_{n+1}\leq u_{n}$

Donc la suite $u_{n}$ est décroissante à partir du rang 16.




4) Montrons par récurrence que pour tout n $\geq \QTR{bf}{16}$ on a 0 MATH

n=16 :

On a bien 0 MATH

OK

nMATH :

Pour n >16 on a MATH

Or d'après l'hypothèse de récurrence MATH

Donc MATH

Soit MATH

De plus il est évident que $u_{n+1}\geq 0$

Finalement on a 0 MATH

Conclusion :

Pour tout n $\geq \QTR{bf}{16}$ on a 0 MATH

$\QTR{bf}{Limite}$ de $u_{n}:$

$0,95^{n-16}u_{16}$ est une suite géométrique de raison 0,95. Sa raison est inférieur à 1 donc cette suite converge vers 0.

D 'aprés le théorème des gendarmes on en deduit que :

MATH