CORRIGE de Mathématiques
Inde - Section S - Juin 2005
1
2)a)
Pour tout x
on a :
Calculons sa dérivée :
Donc
f est décroissante sur
Limite
de f en
+
Donc
b)
f est continue, strictement décroissante sur
De
plus
et
Le
réel 1,9 appartient à l'intervalle
Donc
ce réel a un et un seul antécédent
.
Donc
il existe un unique réel
tel que
c)
On cherche
n
entier naturel tel que
Avec
la calculatrice en résolvant
f(
on trouve que
Donc
d)
La fonction f est décroissante sur
et
f(
Or
si
Alors
soit
3)a)
D'après la question précédente, on a pour
De
plus d'après la question 1, on a
soit
soit
soit
Donc
la suite
est décroissante à partir du rang 16.
4)
Montrons par récurrence que pour tout n
on a 0
n=16 :
On
a bien 0
OK
n
:
Pour
n >16 on a
Or
d'après l'hypothèse de récurrence
Donc
Soit
De
plus il est évident que
Finalement
on a 0
Conclusion :
Pour
tout n
on a 0
de
est une suite géométrique de raison 0,95. Sa raison est
inférieur à 1 donc cette suite converge vers 0.
D 'après le théorème des gendarmes on en déduit que :
