1)
![$[0;1]$](graphics/HVNNBA9X.png)
donc
et
Ainsi en passant à l'inverse dans l'inégalité précédente, on obtient :
ce qui montre la première inégalité.
Démontrons
maintenant que
autrement dit que
Donc
Finalement :
2)a)
car
b) D'après 1, on a :
En passant à l'intégrale dans cette inégalité, on obtient :
d
Or
(d'après 2a))
D'où :
d
Or
et
d
Donc :
3)
(somme télescopique)
Or
d'après 2)b),
Or
Donc
Donc
Donc
Donc
est décroissante.
4)
Or
d'après 2. b. en remplaçant
par
,
on obtient que
.
Donc
:
La
suite
est donc croissante.
5)
D'après la question 4 et 3 ,
est décroissante et
est croissante.
De
plus
(car
On
peut donc en déduire que les suites
et
sont adjacentes. Elles sont donc convergentes et convergent vers la même
limite
Valeur
approchée de
à
10
Les
suites étant adjacentes on a pour tout n
On
cherche n tel que
soit
On prend donc n=100
A la calculatrice , on détermine :
et
D'où
On en déduit que :
à
près
