Pour tout x > 0 :
1.
limite de f en
+
:
car
et
de plus :
donc :
2.a)
Or
b)
La calculatrice nous permet de nous donner une valeur approchée
de
:
En
arrondissant au dixième, on trouve
3)a)
dérivée de f pour tout x
:
b) Etude du signe de f'(x) :
car la fonction ln est strictement croissante sur
De même :
'
Tableau de variation de f :
____________________________________________
x0
+
____________________________________________
0
____________________________________________
+
4)
Montrons que
Or
Donc :
Pour
tout réel x ,
,
donc pour tout réel x ,
Donc :
Interprétation
graphique : La droite D d'équation y=x-2 est asymptote à C (courbe
représentative de f) en
+
et la courbe (C) est au dessus de la droite
(D) en chacun de ses points.
5)a)
D'après la question 2)a), f(α)=α .
Par conséquent α est l'abscisse du point M intersection de la courbe (C) avec la droite d'équation y = x
b)
On
a vu à la question 3) que
f'(2ln5)=f'(
)=0
,
La tangente à la courbe (C) au point d'abscisse α a donc pour équation y = α.
Elle est représenté en rouge sur le graphique
c)
La droite D est représentée en bleu sur le graphique
Graphique :
6.a) L'aire A (en unités d'aire) est l'aire du domaine E délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives x = 2 et x = 6.
De plus d'aprés la question 4, la courbe (C) est au dessus de la droite (D) en chacun de ses points.
Donc :
b) Valeur exacte de A :
Or
une primitive de la fonction
est
(primitive de
).
Donc
Valeur approchée au dixième de A :
(unités d'aire)
