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CORRIGE MATHEMATIQUES France Métropolitaine
SECTION S - Juin 2006

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

1) a) Soit z et z' deux nombres complexes non nuls. On a :

MATH

MATH d'après le pré requis 1

0r $arg(1)=0+2k\pi $

Donc d'après le pré requis 2, on a :

MATH

Ainsi, on a :

MATH




b) Soient A, B et C trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$.

MATH

MATH (d'après le pré requis)

MATH

MATH (d'après la relation de Chasles).




2)a) Pour tout $z\neq 0$, on a :

MATH

En passant aux arguments, on obtient :

MATH car $\arg (1)=0+2k\pi $ et MATH

On peut donc en déduire que :

MATH

Donc $M$ et $M^{\prime }$ appartiennent à une même demi-droite d'origine $\QTR{bf}{O}$.




b) On cherche l'ensemble des points M tels que $f(M)=M$ ce qui revient à chercher les $z\in \U{2102} $ tel que :

MATH

$z\overline{z}=1$

c'est-à-dire $|z|^{2}=1$

donc $|z|=1$.

L'ensemble des points M tels que MATH est donc le cercle de centre $O$ et de rayon 1.




c) MATH

En passant à l'argument dans l'expression précédente, on obtient :

MATH

MATH

MATHiMATH

MATH.




3)a) Soit M d'affixe $z$ tel que $z\neq 1$ et $z\neq \text{i}$.

Donc $M\neq U$ et $M\neq V$

MATHM appartient à la droite $(UV)$ privée de $U$ et $V$ MATH

MATH

MATH MATH

MATH MATHest un nombre réel non nul.




b) D'aprés la question précédente $M(z)$ est un point de la droite $(UV)$ privée de $U$ et $V$ si et seulement si MATH

Or MATH (d'après la question 2c).

Donc MATH $\ $ avec k'$\in \U{2124} $

c'est-à-dire MATH.

MATHDonc $M^{\prime }$ décrit le cercle de diamètre $[UV]$, privé des points $U$, $V$ et $O$.

Donc l'image par f de la droite (UV) privée de U et de V est le cercle de diamètre $[UV]$, privé des points $U$, $V$ et $O$.