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CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION S - JUIN 2005

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Partie A :

1.

MATH

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^{-\tfrac{x}{4}}$. Ainsi :

MATH


Limite de f en + $\infty $

MATH

donc :

MATH


Limite de f en -$\infty $

\lim \limitsx\-\MATH

MATH

donc :

MATH


3. Domaine de définition :

MATH est toujours positif donc le dénominateur de f est toujours strictement positif (il ne s'annule pas). La fonction f est donc définie sur $\U{211d} $

Derivée : (Nous utiliserons la forme de f trouvé à la question 2 car plus facile à dériver)

MATH

Variation :

f'(x) est clairement toujours positive quelque soit x réel (l'exponentiel étant toujours positive).

Donc f est strictement croissante quelque soit x appartenant à $\U{211d} $.


Partie B :

1. a) Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions g telles que :

MATH

avec A constante réelle


b) $g(0)=1$

d'où

$A=1$

Donc :

MATH


c) Le problème revient ici à chercher t tel que $g(t)\geq 3$, c'est à dire MATH

MATH (la fonction ln étant croissante, les inégalités ne changent pas)

$t\geq 4ln(3)=4,3$

Donc au bout de cinq ans la population dépassera 300 rongeurs.


2.a) La fonction u est défini sur $\U{211d} ^{+}$ et est strictement positive, la fonction h definie sur $\U{211d} ^{+}$ par MATH est définie sur $\U{211d} ^{+}$ et est strictement positive. La fonction h est

dérivable comme inverse d'une fonction dérivable strictement positive donc non nulle sur $\U{211d} ^{+}$ .On a MATH donc MATH

Ainsi la relation 3 devient :

MATH

soit :

MATH MATH et MATH


b) Les solutions sur R de l'équation différentielle MATH $\dfrac{1}{12}$ sont les fonctions h telles que :

MATH

avec h$_{0}$ une solution particulière de l'équation différentielle.

$h_{0}=\dfrac{1}{3}$ convient

détermination de la constante:

MATH d'où $A=\dfrac{2}{3}$

d'où :

MATH

d'où :

MATH


c) D'après la question 2 de la partie A, la taille de la population qui sera en augmentation constante tendra vers 300 individus.