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CORRIGE MATHEMATIQUES Amérique du Nord
SECTION S - JUIN 2005


Exercice 1 :

1. Pour savoir si le triangle ABC est isocèle, calculons les distances AB, BC et CD :

AB = MATH

AC = MATH

BC = MATH

On remarque que AB $\neq $ BC $\neq $ CD, donc le triangle ABC n'est pas isocèle.

Pour savoir maintenant si le triangle est rectangle en A, calculons l'angle (MATH ; MATH)

On a (MATH ; MATH) = arg MATH= arg$\dfrac{4-i}{-1-4i}$ = argMATH = arg i = MATH

Donc le triangle ABC est bien rectangle en A.

La réponse exacte est donc la réponse b.


2. MATH

Si on note G et H les points d'affixe respectives 4i et -2 , on a alors :

MATH

Donc l'ensemble des ponts M tels que MATH est la médiatrice de [EF].

C'est donc une droite. La réponse exacte est donc la réponse b.


3. On peut écrire $z=x+iy$ pour tout $x$ et $\ y\in \U{211d} $ et $z^{\prime }\neq -2$

Alors z' devient :

MATH

z' est réel MATH La partie imaginaire de z' est nulle

MATH $-xy+(x+2)(y-4)=0$ et $z^{\prime }\neq -2$

MATH $-4x+2y-8=0$ et $z^{\prime }\neq -2$

MATH $-2x+y-4=0$ et $(x;y)\neq (-2,0)$

L'ensemble des points M tel que z' est réel est donc une droite d'équation$\ $y = 2x +4 privée d'un point de coordonnée (-2;0).

La réponse exacte est donc la réponse b.

4. L'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle -$\dfrac{\pi }{3}$ est :

MATH

MATH

MATH

La réponse exacte est donc la réponse a