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CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION S - Juin 200
1

1. Pour tout n $\in \U{2115} $ :

MATH $\ [2\pi ]$

MATH $[2\pi ]$

MATH $[2\pi ]$

MATH $[2\pi ]$

On peut en déduire que puisque $OM_{n}$ $=OM_{n+1}$ (M et N appartiennent au même cercle de centre O )

$M_{n+1}$est l'image de $M_{n}$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{5\pi }{6}$.

Ce calcul préliminaire nous permet de placer les 12 points sur le graphique ci dessous (voir fichier autre logiciel) :




2. M$_{n}$ d'affixe z$_{n}$ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l'angle MATH

Donc z$_{n}$ s'écrit :

MATH

Le cercle C a un rayon de 1 MATH

De plus MATH

MATH

Donc $\alpha _{n}$ est suite arithmétique de raison $\dfrac{5\pi }{6}$

On peut donc écrire $\alpha _{n}$ de la façon suivante :

MATH

d'où :

MATH




3. M$_{n+6}$ a pour abcisse :

MATH

zMATH

MATH

MATH

MATH

Les points M$_{n}$ et M$_{n+6}$ sont donc diametralement opposés .




M$_{n+12}$ a pour abcisse :

MATH

MATH

MATH

MATH

MATH

Les points M$_{n}$ et M$_{n+12}$ sont donc cofondus .




b)Pour tout n$\in \U{2115} $, on a :

MATH

MATH

MATH

MATH

MATH




Calculons maintenant la distance M$_{n}$M$_{n+4}$ :

MATH

MATH

Or MATH car M$_{n}$ appartient au cercle trigonométrique .

D'où :

MATH

MATH

MATH

MATH

MATH

La distance M$_{n}$M$_{n+4}$ vaut donc $\sqrt{3}$.




Montrons maintenant que le triangle M$_{n}$M$_{n+4}$M$_{n+8}$ est un triangle équilatéral :

Le centre du cercle circonscrit au triangle M$_{n}$M$_{n+4}$M$_{n+8}$ est O et la rotation d'angle $-\dfrac{2\pi }{3}$ transforme M$_{n}$ en M$_{n+4}$ et M$_{n+4}$en M$_{n+8}$ car

MATH et MATH

On peut en déduire que le triangle M$_{n}$M$_{n+4}$M$_{n+8}$ est équilatéral.




4.On tire simultanémént 3 cartons de l'urne qui en contient 12. Il y a donc C$_{12}^{3}$= 220 tirages successifs

On admet que tous les triangles équilatéraux sont de la forme M$_{n}$M$_{n+4}$M$_{n+8}.$

Il y a donc 4 cas possibles pour obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral.

Ils correspondent aux triangles M$_{0}$M$_{4}$M$_{8}$, M$_{1}$M$_{5}$M$_{9}$, M$_{2}$M$_{6}$M$_{10}$, M$_{3}$M$_{7}$M$_{11}$,M$_{4}$M$_{8}$M$_{12}.$

La probalité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral est donc de $\dfrac{4}{220}$ soit MATH.