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CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION ES - JUIN 2001

Exercice I Exercice II Problème

Partie A

1. Pour tout MATH $,$ MATH

$f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables et on a :

MATH

$x\geq 1$ donc MATH et $x(x+1)>0$

tab_de_var_es_juin_2001.png

Pour tout MATH $,$ MATH

MATH donc MATH

De plus MATH

Donc MATH

2. MATH (d'après la question 1.)

Donc la droite d'équation $\ y=1,1.x$ est une asymptote de la courbe $(C)$

Soit MATH , on a $\ $ : MATH donc MATH

On a aussi $x<x+1$ MATH car $x+1>0$

Donc MATH

MATH : donc l'aymptote $\left( D\right) $est au dessus de la courbe $(C)$

3.

graphics/Bac_ES_France_Juin 2001_Maths_Corrige_Pb__31.png

Partie B

1. Sur MATH, $g$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables et on a :

$\ \ $

MATH

MATH

Or $x^{2}>0$ sur MATH , donc $g^{\prime }(x)>0$ sur MATH

Donc $g$ est strictement croissante sur MATH

MATH donc MATH

tab_de_var_es_juin_2001_2.png

2. MATH MATH

Donc $(D)$ est une asymptote de la courbe $(C^{\prime }) $ en $+\infty $

MATH car MATH

donc $g(x)>1,1.x$ c'est à dire que la courbe $(C^{\prime })$ est au dessus de la courbe $(D^{\prime })$

3. (Voir le graphique)

4. Sur MATH : $H$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables

MATH

MATH

Une primitive de $i$ sur MATH : $I(x)=\ln (x)+H(x)$

5. MATH

Cette intégrale correspond à l'aire comprise entre la courbe $C$, la courbe $C^{\prime }$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=5$

Partie C

1. Pour tout MATH

MATH

2. D'après la question B.5 , on a : MATH

Donc le nombre total d'objet dont la demande n'est pas satisfaite entre les dates 1 et 5 est de 3

3. $g-f$ est décroissante sur MATH

Donc le niveau de fabrication est suffisant à partir de la date MATH